Представляємо кілька варіантів розв'язків даної задачі:

Розв'язок 1. Мова програмування: Python. Автор: Анатолій Сахно.

count = 0
for x1 in range(0,106):
    for x2 in range(0,106):
        for x3 in range(0,106):
            if x1 + x2 + x3 == 105 and x1 <= x2 <= x3:
                count += 1
print(count)

Розв'язок 2. Мова програмування: JS. Автор: Олексій Бірюченко.

const getBeadsCombinationAmountOptimized = blackBeadsAmount => {
    let amount = 0;
    let gap1 = 0, gap2 = 0, gap3 = blackBeadsAmount;
    for (gap1; gap1 <= gap2 && gap1 <= gap3; gap1 ++) {
        gap2 = gap1;
        gap3 = blackBeadsAmount - gap1 - gap2;
        for (gap2, gap3; gap2 <= gap3; gap2 ++, gap3 --) {
            amount ++;
        }
    }

    return amount;
}

const blackBeadsQuantity = 105;
const beadsCombinationAmount = getBeadsCombinationAmountOptimized(blackBeadsQuantity);
console.log(beadsCombinationAmount);

Розв'язок 3. Мова програмування: PHP. Автор: Віталій Терещук.

//повний перебір
  for ($x1=0; $x1<($N-1); $x1++)
    for ($x2=0; $x2<($N-1); $x2++)
      for ($x3=0; $x3<($N-1); $x3++) {
        $ineration++;
        if (($x1 + $x2 + $x3 == ($N-3)) & ($x1 <= $x2) & ($x2 <= $x3)) $count++;
      }

Розв'язок 4. Мова програмування: PHP. Автор: Віталій Терещук.

//повний перебір з оптимізацію: (А) $x1 перебирається лише в першій третині діапазону; 
//(Б) перевірки ($x1 > $x2), ($x2 > $x3) робляться всередині відповідних циклів, і при невиконанні умови ітерації пропускаються
  for ($x1=0; $x1<ceil(($N-2)/3); $x1++)
    for ($x2=0; $x2<($N-1); $x2++) {
      if ($x1 > $x2) continue;
      for ($x3=0; $x3<($N-1); $x3++) {
        if ($x2 > $x3) continue;
        $ineration++;
        if ($x1 + $x2 + $x3 == ($N-3)) $count++;
      }
    }

Розв'язок 5. Мова програмування: PHP. Автор: Віталій Терещук.

 //ідентичний варіанту 4. +робиться дамп кожної ітерації
  for ($x1=0; $x1<ceil(($N-2)/3); $x1++)
    for ($x2=0; $x2<($N-1); $x2++) {
      if ($x1 > $x2) continue;
      for ($x3=0; $x3<($N-1); $x3++) {
        if ($x2 > $x3) continue;
        $ineration++;
        echo "<br>$x1 $x2 $x3"; //дамп ітерації
        if ($x1 + $x2 + $x3 == ($N-3)) { 
          $count++; 
          echo '++';  //ставляться ++ для знайденого варіанту
        }
      }
    }

Розв'язок 6. Мова програмування: PHP. Автор: Віталій Терещук.

//повний перебір з оптимізацію: (А) $x1 перебирається лише в першій третині діапазону; 
//(Б)перевірки ($x1 > $x2) робляться всередині циклів, і при невиконанні умови ітерації пропускаються
//(В) число $x3 розраховується відразу всередині циклу $x2 (тобто коли вже відомі $x1 та $x2), і якщо воно відповідає умові ($x3>=$x2) фіксується знайдений варіант, цикл для $x3 прибраний як надлишковий
//+робиться дамп знайденого варіанту

  for ($x1=0; $x1<ceil(($N-2)/3); $x1++)
    for ($x2=0; $x2<($N-1); $x2++) {
      if ($x1 > $x2) continue;
      $x3 = ($N-3) - $x2 - $x1;
      if ($x3>=$x2) {
        $ineration++;
        echo "<br>$x1 $x2 $x3"; //дамп
        $count++; 
      }
    }

Віталій Терещук інтегрував свій код в HTML. Можна спробувати на відповідній сторінці і різних кількостях чоток.  Для мене завжди було і є загадкою, навіщо Віталію з такою логічною головою було захищати ті всі дисертації в таких дивних напрямках і стати доктором політичних наук. Не можу збагнути )

На даний час це всі розв'язки, які були отримані. Дякую, Олексій Бірюченко, дякую, Віталій Терещук.