Округлення, як відомо, це  математична операція, яка полягає в заміні числа α наближеним числом α1 із меншою кількістю значущих цифр. Число α1 вибирають так, щоб похибка округлення була якомога меншою.

У різних галузях застосовують різні методи округлення.

На уроках математики в школі традиційно округлюють методом «Округлення до найближчого цілого» (англ. rounding) — це найбільш часто вживаний метод округлення, при якому число округлюється до цілого, модуль різниці з яким у цього числа мінімальний. У загальному випадку, коли число в десятковій системі округляють до N-ого знаку, правило може бути сформульовано таким чином:

якщо N+1 знак < 5, тоді N-ий знак зберігають, а N+1 та всі наступні обнуляють;

якщо N+1 знак ≥ 5, тоді N-ий знак збільшують на одиницю, а N+1 та всі наступні обнуляють;

Наприклад: 11,9 → 12; −0,9 → −1; −1,1 → −1; 2,5 → 3.

Давайте напишемо ще кілька прикладів на даний тип округлення:

Округлюємо до цілого:

1,5 → 2

2,5 → 3

3,5 → 4

4,5 → 5

5,5 → 6

6,5 → 7

Такий метод округлення використовує Python версії 2 і старі програмні компілятори, наприклад Turbo Pascal.

Але це не єдиний метод округлення. Відповідно до стандарту IEEE 754 (і 1985, і 2008 року),  основним для комп'ютерних обчислень є інший метод. Він зветься округленням до найближчого парного, банківським, статистичним, данським, Гаусовим округленням. Вважається, що банківське округлення дозволяє зменшити похибки при роботі з великими масивами даних. Подробиці можна дізнатися, завітавши на кілька років на правильну спеціальність гарного університету. Даний метод на сьогодні популярний:  наприклад, .NET Math.Round  так робить по замовчуванню,  цей метод використовує для функції стандартного округлення round() PascalABC.Net  і Python 3.

Синтаксично округлення в Python 3 здійснюється функцією round(number, ndigits), де number – число що округлюється, а ndigits - кількість знаків після коми. Наприклад:

>>>round(2.137, 2)

2.14

>>>round(1.5)

2

Ось результат такого округлення:

1,5 → 2

2,5 → 2

3,5 → 4

4,5 → 4

5,5 → 6

6,5 → 6

Саме так округлює функція round() в Python 3.

Але є і великі підводні камені, пов’язані з представленням в пам’яті комп’ютера дійсних чисел. Ось приклад:

>>>round(2.15, 1)

З точки зору округлення до найближчого парного, результат повинен бути 2.2

Python 3 вважає інакше:

>>>round(2.15, 1)

2.1

Це пов’язано з тим, як представлено число 2.15 в машинному поданні, давайте переглянемо, як воно виглядає для, наприклад, 30 знаків після коми:

>>> '%0.30f' % 2.15

'2.149999999999999911182158029987'

Тепер все зрозуміло, в такому випадку логіка округлення  Python 3 цілком зрозуміла.

Але сюрпризи при округленні дійсних чисел можуть з’являтися цілком несподівано, наприклад:

>>> round(2.15, 1)

2.1

>>> round(2.1500000000000001, 1)

2.1

>>> round(2.150000000000001, 1)

2.2

Як бачимо, камінців вистачає. Але round() – не єдина функція округлення.

В Python 3, в модулі math реалізовано ще декілька методів округлення:

math.ceil(x) – округлення до найближчого більшого числа

math.floor(x) - округлення до найближчого меншого числа

math.trunc(x) - усікає значення X до цілого.

Ось приклади, що ілюструють роботу даних функцій:

>>> import math

>>> math.ceil(1.4)

2

>>> math.floor(1.4)

1

>>> math.trunc(1.4)

1

>>> math.trunc(1.9)

1

>>> math.floor(-1.9)

-2

>>> math.trunc(-1.9)

-1

Усікти значення до цілого можна і без використання модуля math:

>>> int(1.1)

1

>>> int(1.9)

1

>>> int(-1.1)

-1

>>> int(-1.9)

-1

А для естетів, перфекціоністів, тих, хто хоче забезпечити абсолютну точність, контролювати стратегію округлення і системно керувати золотою рибкою, Python 3 має модуль decimal

Цей неймовірний інструмент має  аж вісім варіантів округлення:

ROUND_CEILING - Округлення в сторону позитивної нескінченності. Наприклад, число 2.52 буде округлено до 2.6, а число -2.58 до -2.5

ROUND_DOWN - Округлення в сторону нуля. Наприклад, число 2.58 буде округлено до 2.5, а число -2.58 - до -2.5

ROUND_FLOOR - Округлення в бік негативної нескінченності. Наприклад, число 2.52 буде округлено до 2.5, а число -2.58 до -2.6

ROUND_HALF_DOWN - Округлення в сторону від нуля, якщо частина, що округлюється,  більше половини останнього значущого розряду, в іншому випадку округлення буде виконано в сторону нуля. Наприклад, число 2.58 буде округлено до 2.6, число 2.55 буде округлено до 2.5, а число -2.58 до -2.6

ROUND_HALF_EVEN - Те ж, що і ROUND_HALF_DOWN, тільки якщо частина, що округлюється дорівнює точно половині останнього значущого розряду, результат округлюється вниз, якщо попередня цифра парна, і вгору - якщо попередня цифра непарна. Наприклад, число 2.65 буде округлено до 2.6, число 2.55 також буде округлено до 2.6

ROUND_HALF_UP - Те ж, що і ROUND_HALF_DOWN, тільки якщо частина, що округлюється, дорівнює точно половині останнього значущого розряду, результат округлюється в бік від нуля. Наприклад, число 2.55 буде округлено до 2.6, а число -2.55 до -2.6

ROUND_UP - Округлення в бік від нуля. Наприклад, число 2.52 буде округлено до 2.6, а число -2.52 - до -2.6

ROUND_05UP - Округлення в бік від нуля, якщо останній значущий розряд містить цифру 0 або 5, в іншому випадку округлення виконується в сторону нуля. Наприклад, число 2.54 буде округлено до 2.6, число 2.64 також буде округлено до 2.6

Звичайно, всі ці варіанти з’явилися в decimal не просто так  - вони мають цілком прикладний сенс. З таким інструментарієм можна реалізувати багато чого, в тому числі і популярне шкільне округлення методом «Округлення до найближчого цілого»:

import decimal as decimal

print(decimal.Decimal('2.5').quantize(decimal.Decimal('1'), rounding=decimal.ROUND_HALF_UP))

print(decimal.Decimal('3.5').quantize(decimal.Decimal('1'), rounding=decimal.ROUND_HALF_UP))

out:

3

4

Ну і можна, звичайно, написати і власну функцію округлення, якщо на то є причини. В будь-якому варіанті тема округлення дійсних чисел в Python 3 має чимало непростих аспектів. І програмістам необхідно уважно враховувати дані особливості як на етапі проектування інформаційних систем, так і при розробці стратегій їх тестування.

Розберемо задачу 8358 з e-olymp. Джерело задачі —  2018 Azerbaijan School Competition, II Stage, April 8, Problem K. На e-olimp на дату написання статті задача опублікована лише російською, тому перекладаю сам:

Середнє значення – 1

(https://www.e-olymp.com/uk/problems/8358)

Проект "Середня вага школяра школи" вирішили виконати Мамед з Самедом. Що вони будуть робити з цим числом, вони не розкривають. Вони попросили зважитися всіх учнів школи і занесли результати в таблицю. Допоможіть їм підрахувати середню вагу учнів. Але вони просять, щоб учнів з найбільшою і з найменшим вагою не враховувати. Єдине їх упущення, вони не підрахували загальну кількість учнів, але це, звичайно, не завадить вам підрахувати то, що вони просять.

Вхідні дані

У кількох рядках задані ваги учнів в кілограмах, розділених пропусками (одним або кількома) або символом кінця рядка. Читати ваги учнів до кінця введення.

Вихідні дані

Середня вага учнів школи без урахування учнів з найбільшою і найменшою вагою. Відповідь виводити з точністю до кілограм.

Ліміт часу 1 секунда

Ліміт використання пам'яті 128 MB

Вхідні дані # 1

40 23 27

  59 68 23 84 27

53 46

Вихідні дані # 1

46

В першу чергу треба врахувати, що через невідому кількість рядків вхідних даних, єдиним способом отримати  вхідні дані – це використати введення з файлу. Будемо читати рядки з файлу до тих пір, поки не закінчиться файл. Пропоную кожний рядок вхідних даних записувати в тимчасовий список, а далі елементи цього тимчасового списку додавати до основного списку. Код цієї частини програми:

inputfile = open('input.txt', 'r')

outputfile = open('output.txt', 'w')

weights = []

for line in inputfile:

    lst = [int(x) for x in line.split()]

    weights.extend(lst)

Далі ми можемо використати list comprehension з умовою, наприклад, так ефектно:

weights = [x for x in weights if x != max(weights) and x != min(weights)]

В результаті в новому списку weights будуть лише потрібні дані, всі максимальні і мінімальні ваги в новий список  weights не попадуть. Але так робити не треба, тому що це неоптимально по часу і непрофесійно на співбесіді на роботу. Річ в тому, що при кожній ітерації циклу, проходить порівняння значення елементу списку з максимальним і мінімальним елементом списку. І кожного разу python  буде обраховувати максимальне і мінімальне значення. Так як список у нас протягом обробки циклом не змінюється, то буде правильним визничити максимальне і мінімальне значення списку до циклічного перебору:

max_weights =  max(weights)

min_weights =  min(weights)

weights = [x for x in weights if x != max_weights and x != min_weights]

Зверніть увагу на інформативність змінних. В олімпіадному програмуванні часто поспішають і так змінні не називають, а дарма. Рекомендую назви змінним давати розумно, у професійному програмуванню так і роблять.

Ну і на останок, в умові задачі є округлення, це в Python дуже дискутивна тема. Як мінімум, нагадаю, що  Python версії 2 виконує так зване «арифметичне округлення», як Pascal, C++ і як на уроках математики, а Python версії 3 при використанні функції round() виконує так зване «банківське округлення» або «округлення до парного». В даній задачі тести обрані таким чином, що при здачі в Python версії 3 ніяких проблем немає, про округлення в Python 3 на «Плетиві» буде окрема стаття, а тим, хто про дива округлення чує вперше, банківське округлення в Python 3 (і не лише там) виглядає так:

>>> round(1.5)

2

>>> round(2.5)

2

>>> round(3.5)

4

>>> round(4.5)

4

>>> round(5.5)

6

>>> round(6.5)

6

>>> round(7.5)

8

>>> round(8.5)

8

І не забувайте прибиратися після себе. Принцип простий. Ви відкрили якийсь файли? Ви відкрили, вам і закривати. 

Документація третього Python вимагає так:

If you’re not using the with keyword, then you should call f.close() to close the file and immediately free up any system resources used by it. If you don’t explicitly close a file, Python’s garbage collector will eventually destroy the object and close the open file for you, but the file may stay open for a while. Another risk is that different Python implementations will do this clean-up at different times.

Успіхів! 

Розбираємо задачу.

10 20 30

60

При роботі з текстовими даними в python важливо пам’ятати про іммутабельність даного типу даних.  Тобто якщо зі списками ми можемо змінити елемент списку прямо у списку, то при роботі з текстовими даними, нам буде потрібно фактично створення нової змінної. Для прикладу замінимо третій елемент в списку:

>>> a = [11, 22, 33, 44, 55]

>>> a[3] = 99

>>>a

[11, 22, 33, 99, 55]

Все логічно. Для тих, хто здивувався, нагадаємо, що індекс відраховується від нуля.

Тепер поміняємо в слові третю букву.

>>>a = 'бабайка'

>>>print(a[3])

a

>>>a[3] = 'у'

Traceback (most recent call last):

  File "<pyshell#10>", line 1, in <module>

    a[3] = 'у'

TypeError: 'str' object does not support item assignment

Тобто ми отримали помилку python.  Задачу заміни букви можна легко розв'язати за допомогою зрізів і конкатенації:

>>>a = 'бабайка'

>>>a = a[:3] + 'у' +  a[4:]

>>>a

'бабуйка'

Якщо нам треба не третій символ в рядковій величині, а символи замінити на інши символи, то для цього у Python є готовий інструментарій і це простіше.

А тепер – дискотека. Тобто задача.

Перше та останнє входження (4726)

https://www.e-olymp.com/uk/problems/4726

Задано рядок літер. Якщо у ньому літера f зустрічається лише один раз, виведіть її індекс (нумерація індексів з 0).

Якщо вона зустрічається два або більше разів, виведіть індекс її першої та останньої появи.

Якщо літера f у заданому рядку не зустрічається, нічого не виводьте.

Вхідні дані

Один рядок з не більш ніж 255 літер.

Вихідні дані

Виведіть відповідь в залежності від того скільки разів у вхідному рядку зустрічається літера f.

Ліміт часу 1 секунда

Ліміт використання пам'яті 128 MiB

Вхідні дані #1

comfort

Вихідні дані #1

3

Вхідні дані #2

office

Вихідні дані #2

1 2

Дозволю собі пояснити більшу частину програми, тому що майже в кожному рядку можуть зустрітися цікаві речі.

s = input()

first = s.find('f')  

# функція s.find()  повертає індекс позиції, де зустрічається символ 'f',

# пошук відбувається від початку рядкової змінної.

#  Якщо символ не знайдено, функція повертає  -1

if first != -1:

    print (first, end = '')

    s = s.replace('f','z',1)

#  Функція s.replace(old, new, count) замінить count символів old на new, якщо не вказати count, то замінить всі.

Для закінчення написання програми вам, думаю, згодиться функція s.rfind()  що повертає індекс позиції, де зустрічається певний символ,  але пошук відбувається з кінця рядкової змінної. Якщо символ не знайдено, функція повертає  -1.

А є ще більш гарний розв'язок - використовувати find і rfind для знаходження крайнього лівого і крайнього правого індексу, потім порівнювати отримане. Якщо числа рівні між собою і не рівні -1 - виводити одне. Якщо не рівні і жодне з них не -1 - виводити обидва.

Успіхів!

Задача 520 — Сума всіх

e-olymp.com/uk/problems/520

Обчисліть суму всіх заданих чисел.

Вхідні дані

Містить n (1 ≤ n ≤ 10⁵) цілих чисел. Всі числа не перевищують 10⁹ за абсолютною величиною.

Вихідні дані

Виведіть суму всіх заданих чисел.

Вхідні дані #1

2 3  

    1      1

Вихідні дані #1

7

Дана задача – яскравий приклад задачі, для розв’язання якої необхідно використати роботу з файлами. В даній задачі невідомо наперед, в скількох рядках будуть вхідні дані. Коли ж ми отримаємо рядок з вхідного файлу, то далі просто – ми занесемо дані в список, потім знайдемо суму елементів списку за допомогою стандартної функції. Через традиції «Плетива» не публікувати повні лістинги, приведений код вичитує рядки з вхідного файлу і записую їх у вихідний. Модифікувати даний код для розв’язку задачі 502 – сподіваюсь, не проблема.

inputfile = open('input.txt', 'r')

outputfile = open('output.txt', 'w')

for line in inputfile:

    outputfile.write(line + '\n')

inputfile.close()

outputfile.close()

ps. Зверніть увагу, на два аспекти:

1. При виводі в файл  — outputfile.write(line + '\n') — ми в кінці кожного рядка ставимо '\n' Це символ переведення рядка, якщо його не ставити, то всі рядки будуть "клеїтися" один до одного. 

2. Якщо вам треба вивести у вихідний файл число, то необхідно конвертувати його в рядкову величину.

Тобто outputfile.write(str(2017) + line + '\n')

Задача 2097 — Трьохзначі числа

 https://www.e-olymp.com/uk/problems/2097

На заданому проміжку [A, B] виведіть у зростаючому порядку всі трьохзначні числа, у яких усі цифри різні.

Вхідні дані

У єдиному рядку два натуральних числа з вказаного проміжку. 100 ≤ A ≤ B ≤ 999.

Вихідні дані

Кожне число виводьте на новому рядку.

Вхідні дані #1

100 105

Вихідні дані #1

102

103

104

105

Джерело: Китеня 2011 м. Ковров

Розв'язання.

Перебираємо всі числа проміжку. В тестовому прикладі це буде:

100

101

102

103

104

105

Але деякі числа нам не підходять, бо мають повтори цифр. Наприклад в числі 101 дві одиниці, тобто не всі цифри різні.

Давайте переберемо всі числа проміжку, кожне з них відконвертуємо в текст, використовуючи стандартну функцію str()

Далі скористаємося функцією створення множини  set()

Дана функція на основі відконвертованого в текст числа створить множину, в якій будуть елементи без повторів. Тобто дана функція створить нам множину, в якій не буде дублікатів. До речі, не гарантується, що  буде збережено порядок елементів, але для нашої задачі це неважливо.

Ось приклад, що ілюструє роботу функції set()

>>> a = [1,3,5,4,3,3]

>>> a

[1, 3, 5, 4, 3, 3]

>>> b = set(a)

>>> b

{1, 3, 4, 5}

Отже, якщо в тризначному числі всі цифри різні, то довжина множини, що утворена функцією set() буде дорівнювати трьом. Ось як просто це на python:

if len(set(str(i))) == 3

Ось так просто.  Зверніть увагу, що  писати перебір чисел таким чином: 

for i in range (a,b)

невірно, тому що останній елемент (b) в такому разі не буде перебиратися циклом.

Голосні

https://www.e-olymp.com/uk/problems/494

До голосних літер в латинському алфавіті відносяться літери A, E, I, O, U і Y. Інші літери вважаються приголосними. Напишіть програму, яка підраховує кількість голосних літер в тексті.

Вхідні дані

У вхідному файлі міститься один рядок тексту, який складається лише із заглавних латинських літер та проміжків. Довжина рядка не перевищує 100 символів.

Вихідні дані

У вихідний файл вивести одне ціле число – кількість голосних у вхідному тексті.

Вхідні дані

COBRA

Вихідні дані

2

Для розв’язання даної задачі можна скористатися функцією in

Загальна ідея така: Пробіл в тексті також вважаємо буквою (власне, так воно і є). Перебираємо по черзі всі букви тексту. Якщо вибрана буква є серед голосних, то загинаємо палець. Після перевірки всіх букв тексту виводимо кількість загнутих пальців.

В даному випадку доцільно текст і голосні ввести в текстові змінні:

golosni = 'AEIOUY'

Перебір букв тексту проводимо за допомогою циклу, функція in повертає True у випадку, коли буква тексту знайдена серед голосних:

for x in txt:

    if x in golosni:

     kilkist += 1  

Зверніть увагу на конструкцію kilkist+=1 Це і є загинання пальців. Тобто після виконання даної операції значення змінної kilkist збільшується на одиницю. Але якщо до виконання цієї операції змінна kilkist не використовувалась, то ми отримаємо помилку. Тому перед перебиранням букв тексту давайте зробимо так:

kilkist = 0

Так ми і заявимо, що у нас є така змінна (ініціалізуємо її) і встановимо цій змінній початкове значення.

ps. А чи багато, на вашу думку, треба змінити в програмі, щоб вона рахувала не кількість голосних, а кількість пробілів? І чи можна в такому випадку обійтися без функції in ? А яка, на вашу думку, програма буде працювати швидше на одному і тому тексті - та, що рахує кількість голосних чи та, що рахує кількість пробілів?

Середнє арифметичне додатних

https://www.e-olymp.com/uk/problems/910

Задано послідовність дійсних чисел. Визначити середнє арифметичне додатних чисел.

Вхідні дані

У першому рядку задано кількість дійсних чисел n (0 < n ≤ 100). У наступному рядку задано n чисел, значення яких не перевищують за модулем 100.

Вихідні дані

Вивести середнє арифметичне додатних чисел з 2 десятковими знаками. У випадку відсутності додатних чисел вивести повідомлення "Not Found" (без лапок).

Вхідні дані #1

3

5.2 -2 4

Вихідні дані #1

4.60

Використання list comprehension для розв’язання даної задачі допоможе нам ввести дані з одночасним їх фільтруванням. Розбираючи рядок введення, ми можемо вибрати лише додатні елементи. Наприклад, при введенні даних таким  чином:

lst = [float(x) for x in input().split()]

ми в списку lst отримаємо всі вхідні дані. А використання умови в list comprehension дозволить нам додати в список лише додатні елементи вхідних даних:

lst = [float(x) for x in input().split() if float(x)>0]

А отримав список додатних чисел ми можемо проаналізувати довжину цього списку за допомогою функції len(). Якщо довжина нульова, це означає що у вхідних даних немає жодного додатного числа. Якщо так сталося, виводимо відповідне повідомлення, інакше виводимо середнє арифметичне. Формати виведення реальних чисел можна знайти у нашому довіднику «input_print», а для обрахування середнього арифметичного, хто забув, треба суму елементів поділити на їх кількість, в python це просто sum(lst)/len(lst).

ps. Якщо ваші батьки збираються на батьківські збори і у вас є список всіх ваших оцінок, то що буде з даним списком після такого:

otsynky = [x for x in otsynky if 10 <= x <= 12]

Ну і додаткове питання – що буде, коли вас піймають?  :)

https://www.e-olymp.com/uk/problems/2400

Трикутники

Михайлик любив малювати трикутники, але він це робив у незвичний спосіб. Спочатку малював довільний трикутник, потім кожну сторону ділив на n рівних частин і проводив через точки поділу прямі, паралельні сторонам трикутника. У результаті виходить декілька рівних між собою трикутників. Допоможіть Михайлику знайти найбільшу кількість однакових трикутників у його фінальному рисунку.

Вхідні дані

Ціле число n (0 < n < 2 * 10⁹).

Вихідні дані

Вивести найбільшу кількість рівних між собою трикутників.

Вхідні дані #1

2

Вихідні дані #1

4

Дану задачу пропоную розв’язувати з папером і олівцем. Це той випадок коли ми можемо намалювати декілька варіантів забави Михайлика.  Тобто спочатку намалюємо довільний трикутник і поділимо його сторони на 2 рівні частини, тобто n=2.

Потім намалюємо такий трикутник при n=3 і n=4:

Підрахував кількість отриманих маленьких однакових трикутників ми запишемо відповідність вхідних і вихідних даних.  При n=2 відповідь 4, давайте запишемо так:

Подивіться уважно відповідність. Якщо бачите логіку – здавайте задачу. Якщо не бачите, то беріть цю таблицю, топайте до вчителькі математики і скажіть їй: «Я більше не буду прогулювати матема-а-а-тику.  Яка тут відповідність?». Якщо вчителька кине в вас підручником математики за п’ятий клас, ухиляйтесь, але не дивуйтесь.

www.e-olymp.com/uk/problems/6278

Номери будинків

Вивести 1, якщо будинки з номерами N і M знаходяться на одній стороні вулиці, і 0 у протилежному випадку.